Rebosamos ciencia
¿Existen los números?Desde pequeños hemos aprendido que los naturales son el 0, el 1, el 2,... y que hay infinitos. Sabemos que si vamos sumando 1 a cada número obtenemos el siguiente, y que da lo mismo hacer 2+5 que 5+2; en ambos casos obtendremos 7. ¿Pero son estos resultados algo trivial? En absoluto.
¿Cómo podemos estar seguros de que existen los números? ¿Cómo sabemos que 1+1 = 2? Estas preguntas se las hizo el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX, introduciendo los conocidos comoAxiomas de Peano. Tratemos de introducirlos partiendo de muy pocos preceptos evidentes e indubitables. Supongamos que existen entes que llamaremos "conjuntos", y que contiene otros entes llamados "elementos". Digamos que dos conjuntos A y B son iguales si cada uno está incluído en el otro, es decir,A=B↔A⊂B∧B⊂A. Éste es el axioma de extensión. Nos creeremos que para todo conjunto Ay condición T existe B⊂A definido como los elementos de A que verifican T. Éste es el axioma de especificación. Ahora soy capaz de demostrar que existe el cero: definiendo B={x∈A:x≠x}me doy cuenta de que este conjunto no posee elementos. Lo llamaré conjunto vacío o cero, denotándolo como Φ. Bautizaré al cero como 0, al {0} lo llamaré uno, al {0,1} lo llamaré dos,... Axioma de la unión: dada una colección de conjuntos C, existe uno que contiene a todos los elementos de al menos uno de ellos, I mean, ∃V:∀A∈C∧∀x∈A se tiene que x∈V. El conjunto unión se denotará como ⨆A∈CA={x∈V:x∈A} Definiremos también el sucesor de A como A+=A∪{A} y el concepto de conjunto sucesor, sobre el que pivota la teoría de Peano. S es un conjunto sucesor si 0∈S y si A∈S⇒A+∈S. Tomaremos como axioma la existencia de un conjunto sucesor. A partir de unión y especificación construímos el conjunto intersección: ⋂A∈CA={x∈⨆A∈CA:x∈A∀A∈C} Lema: si A y B son conjuntos sucesores, A∩B también lo es. Es evidente pues si 0∈A∧0∈B⇒0∈A∩B y además si n∈A∧n∈B⇒n+∈A∩B pues n+∈A∧n+∈Bpor hipótesis. Como corolario podemos afirmar que dada una colección de conjuntos D y un conjunto A, ⋂A∈CA es un conjunto de sucesores al que llamaremos conjunto de los número naturales: N=⋂A∈CA. Ahora estamos en disposición de enunciar los axiomas de Peano. Propiedades de N 1. Si S⊂N es sucesor entonces S=N, pues 0∈S y toda vez que n∈S entonces n+∈S. Esta es una generalización del principio de inducción. Otra forma de probarlo es mediante el Principio del Máximo: dado un conjunto acotado superiormente, éste tiene un máximo. 2. Cada n∈N satisface que n+≠0 pues n∈n+ y por tanto no puede ser n+=Φ. 3. Dados n,m∈N con n+=m+ entonces n=m. Es una trivialidad, pues si n=m no hay nada que demostrar, y si n≠m entonces como n∪{n}=m∪{m}→n∈m→n⊂m y por la misma razón m⊂n luego por el exioma de extensión n=m. Considerando el 1 en vez del 0 se tiene: Axiomas de Peano (1) 1∈N o más formal, N(1). (2) Si n∈N→n+∈N ó ∀x(N(x)→N(x′)) (3) ∀n∈N,n+≠1 ó ¬ ∃ x(N(x)∧x′=1) (4) Si 1∈S∧n∈S→n+∈S entonces S=N. Otra forma más elegante es (ϕ(1)∧∀x(ϕ(x)→ϕ(x′)))→∀xϕ(x) (5) Dados n,m∈N con n+=m+ entonces n=m. Formalmente, ∀x∀y((N(x)∧N(y)∧x′=y′)→x=y) N(n) simboliza que n∈N. x' denota al sucesor de x. ϕ es cualquier proposición sobre N. Hemos visto que tan solo con unos pocos axiomas razonables y reglas lógicas hemos demostrado que existe un conjunto al que llamamos "números naturales" que verifica una serie de propiedades mencionadas y otras que no hemos citado, pues no son relevantes para el tema a tratar. Ahora bien, ¿qué operaciones podemos hacer con los números y qué propiedades cumplen? Para ello tendremos que definir un par de conceptos más y ver el Teorema de Recurrencia: Sea a∈X y f:X→X. Existe una única función u:N→X tal que u(0)=a y u(n+)=f(u(n)) ∀n∈N. Demostración: Sea C={A⊂N×X:(0,a)∈A∧(n+,f(x))∈A siempre que (n,x)∈A}. Probaremos en primer lugar que u:=⋂A∈CA∈C. En efecto, si (n,x)∈u⇒(n,x)∈A ∀A∈C⇒(n+,f(x))∈u, y además como (0,a)∈A ∀A∈C, entonces(0,a)∈u, luego u∈C. Si ahora probamos que u es función, acabaría la demostración, es decir, que para cada n∈N existe un solo x∈X tal que (n,x)∈u. Como siempre, invoquemos a un conjunto sucesor. Sea S={n∈N:∃ como mucho un x∈X:(n,x)∈u}. Evidentemente 0∈S. Supongamos que n∈S, entonces (n,x)∈u y por cómo está definida u se llega claramente a que n+∈S, luego S=N y quedaría probado el Teorema. El detalle de "como mucho un x∈X" se demuestra por reducción al absurdo suponiendo que hay dos y llegándose a que son el mismo. En efecto sea V=u/{(0,b)} y (n,x)∈V. Entonces por Peano, (n+,f(x))∈u y como n+≠0∀n∈Nentonces (n+,f(x))∈V⇒V∈C∧u⊂V contra la hipótesis. Sea ahora s:N→N definida por s(n)=n+. El Teorema anterior nos garantiza la existencia de una función Sm:N→N tal que Sm(0)=m y Sm(n+)=s(Sm(n)). Llamaremos a esta función la suma, denotándola como Sm(n)=m+n. Por ejemplo, 1+1=S1(1)=S1(0+)=s(S1(0))=s(1)=1+=2. Nunca una operación tan sencilla se hizo con tanta elegancia. La función así definida es única, luego podemos estar tranquilos: 1 y 1 siempre sumarán 2. De esta definición se pueden deducir las propiedades que desde que íbamos a la escuela conocemos: la propiedad asociativa, distributiva y la existencia del 0 como elemento neutro. Pese a ser repetitivos, las demostraremos: El 0 como elemento neutro Queremos probar que 0+m=m+0=m ∀m∈N. Es evidente que m+0=Sm(0)=m, luego bastará probar que 0+m=m. Sea S={m∈N:0+m=m}. Se ve que 0∈S y que si m∈S⇒m+∈S ya que 0+m+=S0(m+)=s(S0(m))=(0+m)+=m+, luego N=S y queda probado. Propiedad conmutativa Sea S={a∈N:a+b=b+a con b∈N}. 0∈S pues es neutro. Si n∈S entonces b+n+=Sb(n+)=s(Sb(n))=s(b+n)=s(n+b)=(n+b)+=n++b⇒n+∈S, por lo que también queda probada. Propiedad asociativa Definiendo un conjunto S como en los casos anteriores y demostrando que es sucesor se deduce trivialmente. No queremos ni atosigar al lector ni insultar a su inteligencia. Por el T. de la Recurrencia podemos definir Pm:N→N con Pm(0)=0 y Pm(n+)=Sm(Pm(n)). Esta función se llamará producto y se denotará como Pm(n)=m×n. Por ejemplo, 1×2=P1(2)=P1(1+)=S1(P1(1))=S1(1)=2. Al igual que antes podemos verificar las propiedades asociativa y conmutativa, demostrar que el 1 es el elemento neutro y demás, cosas que dejaremos como ejercicio al lector. Para hacerlo basta encontrar un conjunto sucesor, como hicimos antes. Podemos definir otras operaciones como la potencia. En este caso, de nuevo, Em:N→N, Em(0)=1, Em(n+)=Pm(Em(n)) y se denota por Em(n)=mn. Al igual que antes, podemos demostrar todas las propiedades que ya sabemos sobre las potencias, pero ahora de una forma más elegante y rigurosa. Por ejemplo: Em(n+k)=Em(n)×Em(k) Demostración: sea S={n∈N:Em(n+k)=Em(n)×Em(k)}. Es evidente que 0∈S. Supóngase que n∈S. Entonces Em(n++k)=Em((k+n)+)=Pm(Em(k+n))=Pm(Em(n)×Em(k))= =m×Em(n)×Em(k)=Em(n+)×Em(k) suponiendo demostrada la propiedad asociativa del producto. Espero que esta entrada, pese a quizá ser demasiado formal, os haya gustado. Un saludo! Via: http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2016/06/existen-los-numeros.html
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Nuno TroitiñoProgramador Web, Apps. ArchivosCategorías |