Rebosamos ciencia
¿Existen los números?Desde pequeños hemos aprendido que los naturales son el 0, el 1, el 2,... y que hay infinitos. Sabemos que si vamos sumando 1 a cada número obtenemos el siguiente, y que da lo mismo hacer 2+5 que 5+2; en ambos casos obtendremos 7. ¿Pero son estos resultados algo trivial? En absoluto.
¿Cómo podemos estar seguros de que existen los números? ¿Cómo sabemos que 1+1 = 2? Estas preguntas se las hizo el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX, introduciendo los conocidos comoAxiomas de Peano. Tratemos de introducirlos partiendo de muy pocos preceptos evidentes e indubitables. Supongamos que existen entes que llamaremos "conjuntos", y que contiene otros entes llamados "elementos". Digamos que dos conjuntos A y B son iguales si cada uno está incluído en el otro, es decir,A=B↔A⊂B∧B⊂A. Éste es el axioma de extensión. Nos creeremos que para todo conjunto Ay condición T existe B⊂A definido como los elementos de A que verifican T. Éste es el axioma de especificación. Ahora soy capaz de demostrar que existe el cero: definiendo B={x∈A:x≠x}me doy cuenta de que este conjunto no posee elementos. Lo llamaré conjunto vacío o cero, denotándolo como Φ. Bautizaré al cero como 0, al {0} lo llamaré uno, al {0,1} lo llamaré dos,... Axioma de la unión: dada una colección de conjuntos C, existe uno que contiene a todos los elementos de al menos uno de ellos, I mean, ∃V:∀A∈C∧∀x∈A se tiene que x∈V. El conjunto unión se denotará como ⨆A∈CA={x∈V:x∈A} Definiremos también el sucesor de A como A+=A∪{A} y el concepto de conjunto sucesor, sobre el que pivota la teoría de Peano. S es un conjunto sucesor si 0∈S y si A∈S⇒A+∈S. Tomaremos como axioma la existencia de un conjunto sucesor. A partir de unión y especificación construímos el conjunto intersección: ⋂A∈CA={x∈⨆A∈CA:x∈A∀A∈C} Lema: si A y B son conjuntos sucesores, A∩B también lo es. Es evidente pues si 0∈A∧0∈B⇒0∈A∩B y además si n∈A∧n∈B⇒n+∈A∩B pues n+∈A∧n+∈Bpor hipótesis. Como corolario podemos afirmar que dada una colección de conjuntos D y un conjunto A, ⋂A∈CA es un conjunto de sucesores al que llamaremos conjunto de los número naturales: N=⋂A∈CA. Ahora estamos en disposición de enunciar los axiomas de Peano. Propiedades de N 1. Si S⊂N es sucesor entonces S=N, pues 0∈S y toda vez que n∈S entonces n+∈S. Esta es una generalización del principio de inducción. Otra forma de probarlo es mediante el Principio del Máximo: dado un conjunto acotado superiormente, éste tiene un máximo. 2. Cada n∈N satisface que n+≠0 pues n∈n+ y por tanto no puede ser n+=Φ. 3. Dados n,m∈N con n+=m+ entonces n=m. Es una trivialidad, pues si n=m no hay nada que demostrar, y si n≠m entonces como n∪{n}=m∪{m}→n∈m→n⊂m y por la misma razón m⊂n luego por el exioma de extensión n=m. Considerando el 1 en vez del 0 se tiene: Axiomas de Peano (1) 1∈N o más formal, N(1). (2) Si n∈N→n+∈N ó ∀x(N(x)→N(x′)) (3) ∀n∈N,n+≠1 ó ¬ ∃ x(N(x)∧x′=1) (4) Si 1∈S∧n∈S→n+∈S entonces S=N. Otra forma más elegante es (ϕ(1)∧∀x(ϕ(x)→ϕ(x′)))→∀xϕ(x) (5) Dados n,m∈N con n+=m+ entonces n=m. Formalmente, ∀x∀y((N(x)∧N(y)∧x′=y′)→x=y) N(n) simboliza que n∈N. x' denota al sucesor de x. ϕ es cualquier proposición sobre N. Hemos visto que tan solo con unos pocos axiomas razonables y reglas lógicas hemos demostrado que existe un conjunto al que llamamos "números naturales" que verifica una serie de propiedades mencionadas y otras que no hemos citado, pues no son relevantes para el tema a tratar. Ahora bien, ¿qué operaciones podemos hacer con los números y qué propiedades cumplen? Para ello tendremos que definir un par de conceptos más y ver el Teorema de Recurrencia: Sea a∈X y f:X→X. Existe una única función u:N→X tal que u(0)=a y u(n+)=f(u(n)) ∀n∈N. Demostración: Sea C={A⊂N×X:(0,a)∈A∧(n+,f(x))∈A siempre que (n,x)∈A}. Probaremos en primer lugar que u:=⋂A∈CA∈C. En efecto, si (n,x)∈u⇒(n,x)∈A ∀A∈C⇒(n+,f(x))∈u, y además como (0,a)∈A ∀A∈C, entonces(0,a)∈u, luego u∈C. Si ahora probamos que u es función, acabaría la demostración, es decir, que para cada n∈N existe un solo x∈X tal que (n,x)∈u. Como siempre, invoquemos a un conjunto sucesor. Sea S={n∈N:∃ como mucho un x∈X:(n,x)∈u}. Evidentemente 0∈S. Supongamos que n∈S, entonces (n,x)∈u y por cómo está definida u se llega claramente a que n+∈S, luego S=N y quedaría probado el Teorema. El detalle de "como mucho un x∈X" se demuestra por reducción al absurdo suponiendo que hay dos y llegándose a que son el mismo. En efecto sea V=u/{(0,b)} y (n,x)∈V. Entonces por Peano, (n+,f(x))∈u y como n+≠0∀n∈Nentonces (n+,f(x))∈V⇒V∈C∧u⊂V contra la hipótesis. Sea ahora s:N→N definida por s(n)=n+. El Teorema anterior nos garantiza la existencia de una función Sm:N→N tal que Sm(0)=m y Sm(n+)=s(Sm(n)). Llamaremos a esta función la suma, denotándola como Sm(n)=m+n. Por ejemplo, 1+1=S1(1)=S1(0+)=s(S1(0))=s(1)=1+=2. Nunca una operación tan sencilla se hizo con tanta elegancia. La función así definida es única, luego podemos estar tranquilos: 1 y 1 siempre sumarán 2. De esta definición se pueden deducir las propiedades que desde que íbamos a la escuela conocemos: la propiedad asociativa, distributiva y la existencia del 0 como elemento neutro. Pese a ser repetitivos, las demostraremos: El 0 como elemento neutro Queremos probar que 0+m=m+0=m ∀m∈N. Es evidente que m+0=Sm(0)=m, luego bastará probar que 0+m=m. Sea S={m∈N:0+m=m}. Se ve que 0∈S y que si m∈S⇒m+∈S ya que 0+m+=S0(m+)=s(S0(m))=(0+m)+=m+, luego N=S y queda probado. Propiedad conmutativa Sea S={a∈N:a+b=b+a con b∈N}. 0∈S pues es neutro. Si n∈S entonces b+n+=Sb(n+)=s(Sb(n))=s(b+n)=s(n+b)=(n+b)+=n++b⇒n+∈S, por lo que también queda probada. Propiedad asociativa Definiendo un conjunto S como en los casos anteriores y demostrando que es sucesor se deduce trivialmente. No queremos ni atosigar al lector ni insultar a su inteligencia. Por el T. de la Recurrencia podemos definir Pm:N→N con Pm(0)=0 y Pm(n+)=Sm(Pm(n)). Esta función se llamará producto y se denotará como Pm(n)=m×n. Por ejemplo, 1×2=P1(2)=P1(1+)=S1(P1(1))=S1(1)=2. Al igual que antes podemos verificar las propiedades asociativa y conmutativa, demostrar que el 1 es el elemento neutro y demás, cosas que dejaremos como ejercicio al lector. Para hacerlo basta encontrar un conjunto sucesor, como hicimos antes. Podemos definir otras operaciones como la potencia. En este caso, de nuevo, Em:N→N, Em(0)=1, Em(n+)=Pm(Em(n)) y se denota por Em(n)=mn. Al igual que antes, podemos demostrar todas las propiedades que ya sabemos sobre las potencias, pero ahora de una forma más elegante y rigurosa. Por ejemplo: Em(n+k)=Em(n)×Em(k) Demostración: sea S={n∈N:Em(n+k)=Em(n)×Em(k)}. Es evidente que 0∈S. Supóngase que n∈S. Entonces Em(n++k)=Em((k+n)+)=Pm(Em(k+n))=Pm(Em(n)×Em(k))= =m×Em(n)×Em(k)=Em(n+)×Em(k) suponiendo demostrada la propiedad asociativa del producto. Espero que esta entrada, pese a quizá ser demasiado formal, os haya gustado. Un saludo! Via: http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2016/06/existen-los-numeros.html
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Estas son las historias motivacionales que nos gustan, cada miembro de esta comunidad, rompe sus propias barreras, simplemente para mejorar, a ellos mismos, a su entono, y por ende traer esperanza, que a nivel global se necesita, nunca dejéis de luchar... El objetivo de esta práctica no es la utilización de un determinado programa o aplicación, sino conocer algunos de los existentes, para saber elegir el adecuado para el objeto que se quiera usar y utilizarlo en un proyecto electrotécnico o para alguno de sus cálculos.
Esta práctica constaría de dos partes. En la primera se muestran distintas aplicaciones y programas y en la segunda parte se da un pequeño guión para redactar un sencillo proyecto electrotécnico o realizar alguno de sus cálculos. 1. Programas y aplicaciones de electrotecnia ArisWin3 Es un programa de consulta de las características eléctricas de los transistores de silicio más utilizados actualmente. Para buscar las características de un determinados transistor se debe introducir su número de identificación. No están todos, pero sí los más usados. Más que una aplicación para Electrotecnia en sí, es una aplicación para Electrónica, aunque no se debe olvidar que la capacidad de los dispositivos semiconductores para soportar cada vez mayores niveles de tensión y corriente permite su uso en aplicaciones de potencia, así los transistores se pueden emplear en controles para motores, conversores estáticos de potencia, y llaves de alta potencia (principalmente inversores), aunque su principal uso sigue siendo la electrónica, en la amplificación de corriente dentro de un circuito cerrado. Programa ArisWin3 Aula moisan Esta interesante iniciativa, fruto de la dedicación y el trabajo de tres profesores, Moisés San Martín, Jose Andrés Serrano y Eduardo Parra, del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Valladolid, es altamente interesante, ya que ofrecen programas para gestión de ensayos eléctricos, medidas eléctricas, subestaciones eléctricas, protecciones eléctricas, máquinas eléctricas, sobretensiones, transformadores monofásicos, entre otros. Acceder a Aula moisan Aurover Aurover ofrece seis aplicaciones gratuitas de su programa, luego es de pago con habilitación por Internet. Utilidad diseñada principalmente para cálculo de transformadores trifásicos, monofásicos, con núcleos a columna o acorazados, y con bobinas de cobre o aluminio. Adicional al cálculo de transformadores, también tiene opciones para cálculo de resistores en paralelo, resonancia (Formula de Thompson), inductancia de bobinas con núcleo de aire, resistencia de conductores (distintas aleaciones), Ley de Ohm y potencia, y mucho más. En esta misma página también se puede acceder a una plicación con biblioteca de dibujos eléctricos y electrónicos para Word y Paint, previo registro. Aurover CIRCUIT LAB Programa de pago con la posibilidad de utilizar una demo con las funciones limitadas, que se amplia previo registro. El programa es intituitivo y tipo CAD. En este enlace se puede ver una demostración. CIRCUIT LAB Proyecto PHET Versátil y didáctica aplicación en la que se pueden construir, diseñar y medir circuitos, que ya fue tratada en la anterior práctica Circuitos de corriente alterna. Práctica virtual PSPICE Este interesante programa de simulación y diseño de circuitos analógicos y digitales, con versión gratuita para estudiantes, fue tratado en la práctica anterior Diseño de circuitos con PSPICE. Práctica virtual. RCSim Es un simulador de circuitos resistivos, para diseñar el circuito en pantalla con instrumentos de medición que muestran los valores de corriente y voltaje al tiempo que se ejecuta la simulación. Los cálculos se basan en el análisis nodal modificado. Programa RCSim Solve Elec Simulador de circuitos muy intuitivo. En inglés. Además de construir los circuitos, se pueden ver las ecuaciones que los resuelven y la opción de un osciloscopio para ver las ondas de tensión e intensidad, ideal para circuitos de corriente alterna. Solve Elec 2. Realización de un proyecto electrotécnico 1) Diseñar un proyecto electrotécnico del tipo que se desee, utilizando los anteriores programas. Como ejemplo, y sin ser una lista cerrada, pueden ser de los siguientes tipos: - Alumbrado público - Centro de transformación de intemperie - Centro de transformación de interior - Electrificación de viviendas - Electrificación industrial - Cualquier utilidad que se tenga en mente. La página electrotecnia contiene muchos vídeos con ideas en este sentido. Pueden descargarse proyectos tipo en la web del I.E.S. Politécnico - J. Enrique Castro. 2) Redactar una pequeña memoria técnica, siguiendo el siguiente esquema: - Objetivo del proyecto - Esquema del proyecto (circuito) - Uso de los programas y medidas obtenidas - Viabilidad (si sería útil o práctico en la vida real, valoración económica, posibles ventajas o problemas, etc.) Para saber más y ampliar conocimientos - Lectura: ARA-TECNO. Simulador de circuitos eléctricos Solve Elec 2.5 - Enlaces: REEA. Aplicaciones de diseño electrotécnico - Enlaces: Archivos PC. Aplicaciones de Electrotecnica |
Nuno TroitiñoProgramador Web, Apps. ArchivosCategorías |